La lecture de discussions de réseaux sociaux me donne l'occasion d'illustrer la différence entre logique mathématique et langue naturelle. Ce qui suit paraîtra sans doute évident à bon nombre de lecteurs, mais visiblement ce n'est pas évident pour tout le monde !

On me pointe cette tribune d'une professeure de droit, et notamment cet extrait :

« La loi Taubira s’est donc écartée de cette vérité naturelle pour donner du mariage une nouvelle définition, coupée de la réalité anatomique et biologique, et de surcroît logiquement absurde puisqu’elle aboutit à définir une notion par une proposition contradictoire. Le mariage serait désormais l’union de deux personnes de sexe opposé « ou » de même sexe, c’est-à-dire qu’il désignerait à la fois une chose et son contraire absolu. »

Ainsi, d'après cette professeure, il serait logiquement absurde, c'est-à-dire logiquement contradictoire, d'expliquer que le mariage est l'union de deux personnes de même sexe ou de sexe opposé, car « de même sexe » et « de sexe opposé » sont deux propriétés opposées. Je ne comprends guère cette affirmation.

Si l'on admet que le sexe est une propriété (en mathématiques, une fonction) de l'individu, alors deux personnes sont soit de même sexe, soit de sexe différent. Il s'agit de l'application d'un principe logique général, dit du tiers-exclu, qui dit que quelle que soit la propriété étudiée (ici, que les sexes de deux individus soient égaux), alors elle est vraie ou fausse.

(Ce principe du tiers-exclu n'est pas valide dans les logiques dites intuitionnistes, mais celles-ci n'intéressent que les spécialistes. Quand on parle de logique mathématique sans plus de précision, o0n se place dans une logique classique, c'est-à-dire avec tiers-exclu.)

Ainsi, on n'a pas affaire à une contradiction (une propriété toujours fausse), mais à son opposé, une tautologie (une propriété toujours vraie). (En logique mathématique, le terme « tautologie » n'a pas la nuance péjorative qu'il peut avoir dans d'autres contextes. En particulier, une tautologie n'est pas forcément évidente.)

Bref, l'énoncé cité n'est pas plus folichon qu'indiquer que toute carte d'identité française comporte une date de naissance soit égale au premier janvier 1970, soit différente — énoncé équivalent à indiquer que toute carte d'identité comporte la mention d'une date de naissance. On pourrait, en termes strictement logiques, le retirer de la loi. Alors, pourquoi l'indiquer explicitement ?

C'est justement que la langue naturelle (le français, etc.), de même que le droit, n'exprime pas des propriétés strictement logiques. Notamment, l'interprétation d'une phrase en langue naturelle dépend habituellement de présupposés ; et un présupposé assez courant est que le mariage concerne un homme et une femme. Une façon d'indiquer que ce présupposé ne s'applique pas est de faire figurer explicitement une tautologie généralisant voire contredisant le présupposé. (Je suis sûr qu'un linguiste expliquerait cela bien mieux que moi, je ne suis pas linguiste, etc.)

Quelqu'un qui s'exprimerait purement logiquement dans la vie courante serait proprement insupportable, puisque cette personne devrait sans cesse faire le rappel d'une quantité de présupposés partagés. C'est pourquoi on n'explicite habituellement que ce qui risquerait de différer des habitudes de certains — et, l'existence de mariages entre individus de même sexe différant assurément des habitudes, on est bien ici dans ce cas.

La logique mathématique pure a quelques côtés déroutants. Par exemple, si on prend une hypothèse contradictoire, on a le droit de tout en déduire, même des propriétés elles mêmes absurdes. On m'a ainsi raconté la mésaventure d'une équipe chargée de vérifier le fonctionnement d'un dispositif informatique : elle avait prouvé que si les entrées de ce dispositif vérifiaient certaines hypothèses, alors sa sortie vérifiait une certaine propriété désirée… Sauf que les hypothèses sur les entrées figurant dans la documentation étaient contradictoires ! Ils s'étaient donc retrouvés à démontrer une tautologie « si on se place dans un cas impossible, alors les sorties conviennent ». Une interprétation plus pragmatique, et non purement logique, serait que si l'on demande de démontrer que A implique B, c'est que le cas représenté par A est intéressant, ni absurde ni tautologique, et que donc il convient de s'inquiéter si ce n'est pas le cas.

Bref, il est en général malvenu d'appliquer directement la logique mathématique au langage naturel. Si en plus on le fait en confondant tautologie et contradiction...