On m'a récemment demandé ce que j'entendais par la création de concepts mathématiques comme généralisations d'intuitions ou de besoins. Je vais tenter ici un exposé grand public, absolument pas détaillé côté mathématiques, et sans non plus tenter de reconstituer le déroulement historique de l'histoire des idées mathématiques.

Les entiers

Prenons les nombres 0, 1, 2…, que l'on appelle les entiers naturels. Ceux-ci, du moins les plus petits d'entre eux, nous sont familiers et intuitifs car ils permettent de compter les objets. Nous avons de même une notion d'addition assez naturelle : quand nous avons 3 carottes et par ailleurs 5 carottes, nous avons au total 3+5 carottes.

La notion de multiplication vient elle aussi assez naturellement. Nous avons une tablette de chocolat de 8 rangées de 5 carrés, nous avons 8×5 carrés. Nous pourrions aussi bien compter en 5 colonnes de 8 carrés, nous aurions 5×8 carrés. Cela suggère que l'ordre (8×5 ou 5×8) n'importe pas, que l'on obtient le même résultat ; en termes savants, on dit que la multiplication est commutative. Comme cela fonctionne pour n'importe quelles valeurs et non simplement 5 et 8, on dit que pour tout x et y, x×y=y×x.

J'entends parfois des gens dire qu'ils comprenaient les mathématiques jusqu'au moment où il y a eu des x, mais pour le moment il ne faut pas s'alarmer : j'utilise ces notations parce qu'elles sont beaucoup plus commodes et lisibles que des phrases du genre « si je prends le premier et que je le place à la place du deuxième et que je prends le deuxième et que je le place à la place du premier, j'obtiens un nombre identique », comme on utilisait dans les textes savants avant l'introduction des notations par lettres.

Si nous avons une rangée de 8 carrés de chocolat, nous avons 8 carrés. Quand on multiplie par 1, on ne change pas le nombre… autrement dit, pour tout x, x×1 = x.

Si nous avons 4 tonnes d'acier, nous en avons 4×1000 kilogrammes=4000 ; si nous en avons par ailleurs 5 tonnes, nous en avons 5×1000=5000 kilogrammes ; donc au total nous en avons 9000 kilogrammes. Nous aurions pu aussi bien nous dire que si nous avons 4 tonnes et 5 tonnes, nous en avons 4+5=9 tonnes, donc si nous convertissons en kilogrammes, nous en avons 9×1000=9000 ; nous retombons sur le même nombre (ce qui est assez rassurant).

En mathématiques, les parenthèses servent à grouper ce qui va ensemble, afin d'éviter les ambiguïtés de lecture. Pour dire que l'on va additionner 4 et 5, et ensuite multiplier le tout par 1000, on écrit (4+5)×1000. Là, on a ainsi (4+5)×1000=(4×1000)+(5×1000).

Là encore, il n'y a rien de particulier au nombre 1000. Si au lieu de tonnes et de kilogrammes nous prenions des heures et des minutes, nous aurions le constat banal que si nous passons 4 heures, soit 4×60=240 minutes, puis 5 heures, soit 5×60=300 minutes, nous passons au total 9 heures soit 540 minutes, et que (4+5)×60=(4×60)+(5×60).

On peut généraliser à tout nombre : (4+5)×z=4×z+5×z. Mais là encore, pourquoi 4 et 5 en particulier ? Pour tous entiers naturels x, y, z, (x+yz=(x×z)+(y×z). En termes savants, on dit que la multiplication distribue sur l'addition.

Bref, il y a quelques propriétés de l'addition et de la multiplication qui nous paraissent « naturelles », représentant l'intuition que nous avons de ces opérations. Ce qui est intéressant, c'est qu'une fois que nous avons décidé d'avoir ces propriétés, tout le reste s'ensuit. On a parfois l'impression que les mathématiques sont des suites d'opérations sans sens, plus ou moins arbitraires, à apprendre par cœur. Mais là le seul arbitraire que l'on ait fixé, c'est d'avoir deux opérations, addition et multiplication, satisfaisant les propriétés que l'on désire d'elles pour coller à notre intuition.

Il est possible que cette confusion provienne de la confusion conceptuelle entre les nombres et leur représentation décimale, c'est-à-dire leur écriture usuelle : ainsi, le nombre onze est écrit 11, le nombre cent est écrit 100, etc. On parle de représentation décimale, ou en base dix, car quand l'addition sur les unités atteint dix, on repart à zéro et on propage une retenue. Il y a là un certain arbitraire — pourquoi dix et pas cinq, treize ou vingt? Ce trait qui relève de la culture — certaines civilisations ont d'ailleurs compté par vingt, et ce trait subsiste encore dans certaines langues européennes — que l'on songe à quatre-vingts, 4×20, en français de France. Le décompte de soixante secondes dans une minute, de soixante secondes dans une heure, est un reste culturel de système sexagésimal (base soixante). Le choix de dix provient probablement du fait que nous avons dix doigts (utile pour compter sur les doigts)...

Il peut sembler évident qu'une heure et soixante minutes soient deux écritures pour la même durée, de même que XX et 20 sont deux écritures du même nombre vingt, l'une en chiffre romains, l'autre en chiffres dit « arabes » et en base dix, ou encore que vingt et twenty décrivent le même nombre en français et en anglais. Pourtant, on décrit souvent comme quelque chose d'extraordinaire, voire d'effrayant, que les ordinateurs comptent en binaire, c'est-à-dire en base deux, et on prétend parfois en tirer des conséquences philosophiques ! Il n'y a pourtant là rien de fondamental : de même que le choix de dix est probablement lié à une contingence biologique, à savoir nos dix doigts, le choix de deux chiffres binaires (0 et 1) est motivé par une contingence technique, à savoir que distinguer deux niveaux électriques ou lumineux (ouvert / fermé, etc.) est bien plus aisé que d'en distinguer plus.

Une fois qu'on a fixé une représentation, on peut décrire des méthodes permettant de calculer effectivement dessus — autrement dit, des algorithmes. Là encore, il est important de distinguer la définition du résultat d'une opération de la méthode pour obtenir celui-ci. L'écriture décimale du résultat de l'addition ou de la multiplication de deux nombres écrits en décimal est définie indépendamment du procédé effectif de calcul pour l'obtenir — en mathématique, il est d'ailleurs possible de définirdes objets alors qu'il n'existe aucun procédé pour les calculer !

L'algorithme appris à l'école primaire (enfin, de mon temps ; j'ignore ce qu'il en est actuellement) pour calculer la multiplication de deux entiers n'est qu'un algorithme parmi d'autres qui remplit cette fonction, certes particulièrement simple. Il en existe d'autres, dont certains ont notamment comme avantage de nécessiter moins d'opérations quand on opère sur de grands nombres, comme cela est courant en cryptographie (la science du chiffrement des données). La conception d'algorithmes, leur analyse (combien d'opérations et de cases mémoire nécessitent-ils, etc.) est un champ scientifique nommé algorithmique, lui-même divisé suivant les objets auxquels s'appliquent les algorithmes — bien entendu, on ne se limite pas à additionner et multiplier des entiers ! On peut remplir des rayonnages entiers de bibliothèque universitaire avec des ouvrages sur ces sujets...

Les « fractions »

Mais revenons-en à nos nombres. La conversion d'une heure en minutes est particulièrement aisée : il suffit de multiplier par un nombre entier (le nombre d'heures dans une minutes). Prenons maintenant un problème plus compliqué : le système monétaire britannique comprenait jadis une unité de compte traditionnelle, la guinée, valant 21 shillings, en sus de l'unité officielle, la livre, valant 20 shillings. Comment convertir en livres une somme en guinées ? Il faut multiplier par 21 puis diviser par 20... On va donc parler de multiplier par vingt-et-un vingtièmes, 21/20, autrement dit par une fraction (quand on est savant, on parle d'un rationnel).

Nous avons l'habitude de parler de moitiés, de tiers, de quarts, de cinquièmes, de sixièmes... ne serait-ce que pour couper des gâteaux. Cela ne défrise pas grand monde que de dire que si on ajoute deux cinquièmes de gâteau, deux autres cinquièmes et un cinquième, alors on obtient cinq cinquièmes soit un gâteau entier. Autrement dit, 2×(1/5)+2×(1/5)+1×(1/5)=(2+2+1)×(1/5). On retrouve la règle de distributivité déjà évoquée sur les entiers.

De fait, quand nous passons aux « fractions », nous nous attendons à certaines propriétés identiques à celles des entiers : commutativité, distributivité, etc. En revanche, certaines propriétés disparaissent : par exemple, il n'y a pas d'entier strictement plus grand que deux et strictement plus petit que trois (si on compte en gâteaux entiers, on peut en avoir deux, on peut en avoir trois, mais pas de cas intermédiaire), mais avec des fractions, c'est possible : on peut avoir deux gâteaux et demi.

Là encore, une fois que nous avons posé que nous voulons une notion qui généralise les entiers naturels, qui conserve certaines de leur propriétés, qui correspond à notre intuition du partage du gâteau, alors il n'y a plus d'arbitraire possible. Les règles « mécaniques » de calcul apprises à l'école (mettre les fractions au même dénominateur, etc.) sont juste là pour s'assurer qu'on tombe sur le bon résultat. Mais le critère de ce qui est ou non un bon résultat n'a d'arbitraire que le choix que l'on a fait d'avoir une généralisation des entiers qui vérifie quelques propriétés assez intuitives et naturelles. Autrement dit, c'est ainsi parce que ça ne peut pas être autrement.

Ainsi, nous sommes passés d'une notion élémentaire (les entiers naturels) à une notion plus générale (les rationnels) parce que nous avons éprouvé la nécessité d'étendre le concept utilisé pour capturer une notion intuitive (les parts de gâteau). Voyons maintenant un autre exemple.

Les réels

Si je prends un carré de côté 1m, sa surface est de 1m². Si je prends 4 carrés identiques et que je les dispose pour former un carré de 2m de côté, j'obtiens un carré de 4m² ; bref la surface du carré c'est la longueur du côté multipliée par elle-même, autrement dit élevée au carré. En repliant les coins, on se rend compte que la surface du grand carré correspond à deux fois la surface d'un carré dont le côté est la diagonale du carré de 1m de côté ; donc ce carré fait 2 m² de surface. On se dit donc que si l'on élève au carré la longueur de cette diagonale, on doit obtenir 2.

Nous sommes alors devant une difficulté déjà connue des grecs antiques : il n'existe pas de rationnel (de « fraction ») qui, élevé au carré, donne 2. On peut d'ailleurs le démontrer — on suppose que c'est une fraction, et, par un raisonnement simple mais trop technique pour ce texte, on about it à une contradiction. Ceci nous suggère qu'en nous limitant aux rationnels, nous ne pouvons pas parler de certaines quantités géométriques intéressantes, de même qu'en nous limitant aux entiers nous ne pouvions pas bien parler de choses aussi naturelles que des parts de gâteaux.

Il a donc fallu concevoir des extensions de la notion de rationnel, qui préservent la plupart des propriétés que nous avions sur les rationnels (il y a une addition, une multiplication qui distribue sur l'addition, etc.) mais permettent de parler, par exemple, de la longueur des diagonales de rectangles. Citons parmi celles-ci les nombres réels (ou simplement, les réels) et les réels algébriques. Leur description nous entraînerait trop loin. Dans leur vision « grand public », on les connaît parfois sous le nom de « nombres à virgule », mais cette terminologie est problématique car elle met l'accent sur une représentation particulière (la décimale) et induit des confusions — par exemple, les gens déduisent, incorrectement, du fait qu'un nombre ait un nombre infini de chiffres après la virgule que l'on ne puisse pas calculer dessus — sans parler d'un certain relent de « numérologie ».

On présente parfois les mathématiques comme un amoncellement de concepts abscons, de méthodes de calcul à appliquer bêtement, plus ou moins arbitraires. En réalité, ces concepts ont été polis au cours du temps pour répondre à des besoins souvent assez naturels (parler de parts de gâteaux, de diagonales de carrés...). Les règles de calcul « à appliquer bêtement » sont des méthodes dont on peut démontrer qu'elles donnent le bon résultat, et ce qui est « bon » ou non est la conséquence logique de choix assez « naturels ». Il est bien entendu possible de définir des concepts mathématiques différents ; mais il faut assumer les choix que l'on fait de façon cohérente, et cela n'est pas facile. Voyons maintenant quelques exemples de choix « différents ».

Des anneaux quotients !

Nous avons vu les rationnels comme extension des entiers naturels partageant avec eux un certain nombre de propriétés. Il est possible de construire d'autres objets mathématiques ressemblant par certains côtés aux entiers, mais présentant des différences notables. Prenons, par exemple, les chiffres de 0 à 9 (notés en gras pour éviter des confusions), sur lesquels on définit l'addition et la multiplication en prenant celles des entiers mais en ne gardant que le chiffre des unités. Ainsi, on va poser que 9×8=2 parce que 9×8=72, donc de chiffre des unités 2. On peut montrer que l'addition et la multiplication ainsi définies vérifient certaines des lois usuelles sur les entiers (l'addition est commutative, la multiplication distribue sur l'addition...) mais pas certaines autres : par exemple, il est impossible de définir une notion de « plus grand que » / « plus petit que » qui vérifie que si on ajoute 1 alors on obtient forcément un nombre plus grand. Quand on est savant, on dit qu'on a défini l'« anneau quotient ℤ/10ℤ » et ce concept se généralise d'ailleurs à d'autres valeurs que 10...

C'est à l'aide de ce type de concepts que l'on peut expliquer simplement le pourquoi des méthodes (jadis enseignées) de la « preuve par trois » et de la « preuve par neuf ».

Les géométries non euclidiennes

Venons-en maintenant à d'autres concepts souvent mentionnés dans des ouvrages grand public : les géométries non euclidiennes.

La géométrie euclidienne à deux ou trois dimensions, c'est celle que l'on apprend à l'école et qui décrit fort bien la réalité qui nous entoure. Il s'agit, en quelque sorte, de la formalisation de notions intuitives comme les distances, les parallèles, les angles droits... Cette géométrie se généralise d'ailleurs fort bien à un nombre supérieur de dimensions, même s'il faut alors se méfier de nos intuitions parfois spécifiques du cas particulier de la dimension trois.

Cette géométrie parle d'objets tels que les points, les droites, etc. sur lesquels on peut démontrer des propriétés (ou, suivant comment on présente le sujet, postuler ces propriétés et montrer que l'on retombe sur une définition équivalente). On peut là encore se poser la question de ce que l'on pourrait obtenir si on laissait tomber certaines propriétés usuelles... De même que l'on a obtenu des notions « bizarres » d'addition et de multiplication, on peut obtenir des notions « bizarres » de point, de segment et de droite !

Par exemple, on peut interpréter la notion de point comme le point sur une sphère, la notion de segment comme le tracé de plus court chemin entre deux points, la notion de droite comme un « grand cercle » de la sphère (un cercle formé en coupant la sphère par un plan passant par son centre). On continue d'avoir certaines des propriétés usuelles, mais on n'a plus certaines autres. Ce genre de généralisations s'appellent géométries riemaniennes. D'autres choix conduisent à des géométries hyperboliques.

L'existence de géométries non euclidiennes paraît souvent objet de mystère, voire de mystification. Il me semble qu'il n'y a là rien de plus banal que la généralisation d'un concept familier quitte à abandonner certaines de ses propriétés, comme nous l'avons fait plus haut pour ℤ/10ℤ.

Remarques polémiques

Le côté « arbitraire » et « méthodes de calcul stupides qu'on applique sans comprendre » des mathématiques est le produit de la façon dont on les enseigne. J'ignore dans quelle mesure, d'ailleurs, il est possible de faire autrement dans le cadre d'un enseignement de masse obligatoire. L'aspect « calcul bête » peut en effet rassurer certains élèves et fournit des examens au résultat assez prévisible, ce qui est essentiel dans un système scolaire encore très « taille unique » et où il importe qu'une proportion importante des élèves ait le baccalauréat.

Par ailleurs, j'ai remarqué à plusieurs reprises que des gens ayant le baccalauréat, voire un niveau d'études élevé (thèse) ont des difficultés à mettre en pratique des concepts pourtant « de base », comme l'application de la « règle de trois » pour estimer des ordres de grandeur, par exemple de budgets ou de consommations énergétiques. Or, il s'agit là de problèmes extrêmement importants pour la vie citoyenne : quand on a du mal à se rendre compte si une dépense se compte en millions ou en milliards (j'ai vu le cas récemment), on a des difficultés à avoir un avis éclairé sur le budget de l'État ou de la Sécurité sociale...

Enfin, de nombreuses personnes sont dégoûtées des mathématiques telles qu'enseignées, et souvent font vœu ensuite de ne plus avoir rien à faire avec cette discipline. Cela est certes vrai de nombreuses autres matières scolaires (littérature, éducation physique et sportive, philosophie...), mais cela ne dispense pas d'une réflexion sur la façon dont les concepts et les méthodes sont introduits ainsi que le caractère obligatoire des enseignements dispensés.