Mes lecteurs savent peut-être mon agacement quant à l'usage inapproprié qui est fréquemment fait de l'adjectif « exponentiel ». Celui-ci semble parfois signifier « très gros » ou « qui croît très vite ». Or, ce mot a un sens précis que je m'en fais illustrer ici sur un exemple d'actualité.

Considérons le graphe ci-dessous, donnant une quantité mesurée en fonction du temps : à la date d'origine (0 jours), la mesure est de 29, un jour plus tard de 59, 60 jours plus tard de 185, etc. On voit clairement que la quantité croît avec le temps. Il ne s'agit pas d'une croissance linéaire, c'est-à-dire d'une croissance où l'on rajoute la même quantité à la mesure pour un même intervalle de temps : par exemple, entre le jour 101 et le jour 136, l'accroissement est de 961-481=480, alors qu'entre le jour 139 et le jour 174, l'accroissement est de 2461-1013=1148, alors que dans les deux cas l'intervalle de temps est de 315 jours (on parle de croissance linéaire parce que le graphe aurait alors la forme d'une ligne droite). En revanche, on peut constater qu'entre le jour 101 et le jour 136, la mesure a été multipliée environ par 2, et entre le jour 139 et le jour 174 par 2,4 ; plus généralement on a l'impression que la quantité double environ tous les 35 jours.

Traçons maintenant autrement les mêmes données, en échelle logarithmique : au lieu de signifier un accroissement de 100 à 200, puis de 200 à 300, etc. (incréments de 100), une graduation signifiera un passage de 10 à 100, de 100 à 1000, de 1000 à 10000, etc.. Cette fois-ci, on voit que les mesures semblent se placer le long d'une droite. Sans rentrer dans des détails mathématiques inutiles, disons que cette droite dit que la quantité double en un peu moins de 34 jours (ou décuple en environ 112 jours). C'est cela que l'on appelle croissance exponentielle : quand il existe un nombre n de jours (ou de secondes ou d'années) telle que la une quantité double (environ) tous les n jours. (On parle de décroissance exponentielle quand la quantité est divisée par deux tous les n jours.)


Il n'y a rien d'extraordinaire à constater une croissance exponentielle : c'est ce qu'il advient, par exemple, des fonds déposés sur un compte à intérêts composés, c'est-à-dire dont les intérêts sont déposés sur le compte. Ainsi, une somme placée sur un compte à 3,5 % d'intérêt double au bout de 20 ans. C'est également la croissance du nombre de lapins sur un territoire tant qu'il y a suffisamment de nourriture et pas de prédateurs. On comprend donc que l'exponentielle traduit une sorte d'auto-emballement : les intérêts déposés sur le compte bancaires accroissent la somme sur celui-ci, de sorte que les intérêts versés l'année suivante sont plus élevés, mais eux aussi accroissent la somme, etc. Pour les données ci-dessus, l'exponentielle correspond à un accroissement de 2 % par jour.

À ce point de l'exposé, on peut se demander quelles sont ces données mystérieuses que j'ai utilisées. Il s'agit du nombre total de morts attribués au virus Ebola lors de l'actuelle épidémie en Guinée, Liberia, Sierra Leone, Nigeria et Sénégal à compter du 23 mars 2014 (jour zéro dans mon graphe).

J'espère que ceci aura permis à mes lecteurs d'avoir un exemple concret de ce qu'est vraiment une croissance exponentielle.

(Et je saura gré à d'éventuels connaisseurs en épidémiologie qui me liraient de me donner des raisons pour lesquelles cette croissance exponentielle pourrait cesser avant d'atteindre, disons, 1 à 10 millions de morts courant 2015. Car je n'en vois pas ; mais je n'y connais pas grand chose.)