Comme le savent sans doute déjà certains de mes lecteurs, j'enseigne parfois la logique. Je trouve la logique du premier ordre difficile à enseigner non pas tant techniquement que conceptuellement : j'entends par là que la difficulté n'est pas dans la connaissance de théorèmes compliqués, d'astuces de démonstration ou de calcul, mais dans la compréhension des définitions que l'on utilise. Expérimentalement, dans un cours où figurent logique, calculabilité, et complexité, c'est la partie qui suscite le plus d'incompréhension.

J'ai donc voulu chercher comment les autres expliquaient les bases de ce sujet. J'ai bien entendu des ouvrages de logique mathématique (par exemple le Cori-Lascar, dont je déteste malheureusement la typographie) mais je voulais voir s'il y avait une façon différente d'exposer, peut-être moins « technique ». La logique étant enseignée, selon des divisions quelque peu administratives et artificielles, à la fois en informatique, mathématique et philosophie, il m'a paru intéressant de regarder un cours de logique de philosophe. Par ailleurs, bien conscient de mes lacunes en épistémologie, j'ai voulu améliorer mes connaissance sur ce sujet.

J'ai donc emprunté le Concept de Modèle, par Alain Badiou (un petit ouvrage publié en 1968 chez Maspéro dans la série « théorie — cours de philosophie pour scientifiques », collection dirigée par Louis Althusser, mais il y a une réédition récente).

Alain Badiou oppose dans cet ouvrage deux sens scientifiques du mot « modèle » (j'espère ne pas faire de contre-sens en résumant son propos avec mes propres mots et exemples) :

  1. D'une part, en sciences expérimentales, le modèle est l'appareil mathématique qui est censé refléter la réalité expérimentale : par exemple, pour rendre compte des phénomènes électromagnétiques, on parle des champs électrique et magnétique, reliés par les équations de Maxwell… ou, plus simplement lorsqu'il s'agit d'un circuit électrique, de tensions et intensités.

  2. D'autre part, le mot « modèle » désigne un concept mathématique précis en logique du premier ordre, qui donne une sémantique ou interprétationaux symboles (Badiou emploie plutôt le mot « marques ») des énoncés mathématiques : par exemple, qui associe au + des formules mathématiques l'opération d'addition usuelle sur les entiers.

Badiou développe plutôt ce second aspect. J'aime bien la façon dont il compare un travail très technique comme la construction d'un modèle « alternatif » de la théorie des ensembles avec une construction plus concrète : la construction d'un modèle de la géométrie riemannienne au sein de la géométrie euclidienne, tout simplement en prenant la sphère comme « plan » et ses grands cercles comme « droites ». En revanche, le vocabulaire employé est parfois inhabituel (peut-être est-ce seulement une question d'époque), et certaines explications me semblent un peu obscures.

Badiou relève également une limitation de la théorie des modèles, que certains de mes étudiants relèvent d'ailleurs d'eux-mêmes : construire un modèle d'une logique dans la mathématique « naturelle », « informelle », c'est le construire dans une méta-logique qui pourrait fort bien être elle même incohérente, autrement dit repousser d'un cran le problème de la cohérence sans l'épuiser.

En annexe, Badiou donne une démonstration du théorème de complétude de la logique du premier ordre (démontré par Gödel dans sa thèse de doctorat) par les témoins de Henkin (personnellement j'ai plutôt tendance à donner la construction d'un modèle de Herbrand, mais les goûts et les couleurs…).

Il y a en revanche quelque chose que je n'ai pas compris, c'est l'opposition maintes fois évoquée dans l'ouvrage entre l'« épistémologie bourgeoise » et une supposée épistémologie prolétarienne ou marxiste, basée sur le « matérialisme dialectique ». J'apprécierais donc sur ce sujet l'éclairage de spécialistes de philosophie, quand bien même l'ouvrage évoqué se voulait un cours d'initiation à la philosophie pour scientifiques.

Je conçois bien que toute modélisation mathématique suppose un choix de ce qui est important (et reflété dans le modèle) et de ce qui est négligeable ou hors champ. Pour prendre un exemple tiré de l'informatique, la modélisation des calculs informatiques par sémantique dénotationnelle fait disparaître le temps nécessaire au calcul, de sorte que deux programmes qui calculent la même fonction, mais l'un considérablement plus longtemps que l'autre, sont considérés comme équivalents par cette sémantique. On comprend bien que, s'agissant de tout problème se rapportant à l'humanité ou à la société, le choix de ce qu'il est important ou non d'observer et d'intégrer dans le modèle est politique, et que ce choix, intériorisé dans des modèles qui prétendent à une objectivité scientifique, relève bien d'une idéologie qui dépend d'un temps, d'un lieu, d'une histoire.

Il s'agit cependant ici d'une reconstruction personnelle de ce que Badiou aurait bien pu vouloir dire. Il me semble fort probable que, s'agissant d'un ouvrage cité et réédité d'un philosophe français reconnu, il devrait y avoir quelques lecteurs capables de m'éclairer !

Si je pense avoir une certaine idée de la lutte des classes, j'avoue notamment une certaine incompréhension du « matérialisme dialectique », bien que j'aie vu le terme dans l'introduction d'un ouvrage chinois de mathématiques. Là encore, toute aide serait appréciable, sachant que l'article Wikipédia ne m'aide guère.