En ce moment, je travaille (entre autres) sur des algorithmes mettant en jeu des projections de polyèdres convexes. Une difficulté est de se représenter ce qui se passe : pour concevoir un algorithme, de prouver sa correction ou ses propriétés, il vaut mieux avoir une idée (au moins intuitive) de ce qui se passe, avant de passer au formel.

Nous nous représentons bien ce qui se passe en 1 dimension (une ligne), 2 dimensions (un plan, ce qui permet de tracer les choses sur une feuille ou un tableau), déjà un peu moins ce qui se passe en 3 dimensions quand la forme est un peu complexe, et nettement moins ce qui se passe en dimension supérieure.

Le problème est que les polyèdres en petite dimension ont des propriétés géométriques et combinatoires particulières. C'est particulièrement flagrant en 2 dimensions (polygones) : on peut arranger faces et sommets des polyèdres bornés en une liste circulaire sommet - face - sommet - face etc. Projeter 1 dimension à la fois a également des propriétés particulières.

Bref, pour ne pas me laisser guider par de fausses intuitions, il fallait au moins réfléchir à un polyèdre 4 dimensions qui s'envoie en 2 dimensions, et là je n'ai pas de vision graphique. Je dois m'en tenir à des espèces d'intuitions combinatoires (« il existe une solution basique du problème de programmation linéaire ») et des calculs sur le système d'inégalités.

Et vous, comment faites-vous ?