L'auteur fait remarquer que l'immense majorité des personnes auxquels on a imposé un enseignement, voire exigé un niveau minimal, en mathématiques, n'utilisent jamais d'algèbre dans leur vie professionnelle. On leur a donc, selon lui, imposé un enseignement et une sélection inutiles, et au passage pris un temps de leur vie qui aurait pu être utilisé pour l'apprentissage d'autres disciplines.

Dans cet article, j'aimerais développer quelques remarques et idées sur l'enseignement des mathématiques. Toutefois, avant de passer au cas de cette discipline, je voudrais d'abord faire remarquer à quel point le raisonnement évoqué ci-dessus (« les mathématiques enseignées servent directement dans très peu de métiers, donc on devrait les retirer du programme ») est dangereux. En effet, selon ce critère, c'est la plus grande partie des enseignements obligatoires de l'enseignement secondaire général qui devrait disparaître !

Les dissertations ? Presque personne n'écrit de dissertations à l'âge adulte (si ce n'est les essayistes, et encore, un essai ou une monographie sont d'un format différent d'une dissertation). La littérature ? Très peu de métiers nécessitent de lire des romans, des poésies ou du théâtre. L'histoire ? Quels métiers en ont besoin, si ce n'est une minorité (professeurs d'histoire, chercheurs en histoire ou en archéologie, archivistes, etc.) ? Le dessin et la musique ? On nous dit toujours qu'on ne vit pas des métiers artistiques ! Le sport ? Soyons sérieux, voit-on par exemple des gens pratiquer le triple saut (à part une ultra-minorité d'athlètes professionnels) ?

Bref, si l'on s'en tient à ce qui sert réellement directement au travail pour la plupart des gens, il y a la grammaire, l'orthographe et le calcul de base (qui, à une époque pas si lointaine, était acquis dans l'enseignement primaire). On peut ajouter l'anglais pour les personnes recevant du public étranger ou ayant une activité internationale. Si l'on est généreux et que l'on étend les connaissances utiles à la vie courante, on peu ajouter un peu de physique (tension, intensité, utiles pour des histoires bassement pratiques de fusibles et de branchements).

Bien entendu, la raison pour laquelle on maintient certains enseignements c'est qu'ils présentent des bénéfices indirects. Par exemple, celui qui a étudié l'histoire, la géographie, ou encore les statistiques pourra relativiser les prétentions politiques de certains. Bien entendu, peu de gens refont des calculs d'énergie comme l'on faisait au lycée, mais il est en revanche utile d'avoir compris le concept de conservation de l'énergie afin de ne pas se laisser avoir par des marchands de solutions miracles. Ainsi, même si les exercices faits au collège ou au lycée sont largement artificiels et sans bénéfices immédiats, on espère qu'ils aient laissé des traces utiles dans l'esprit.

Venons-en au cas des mathématiques. Je dois avouer que, vu ma formation et mon métier, j'ai naturellement une grande indulgence pour cette discipline ; toutefois, j'ai certaines réserves quant à la façon dont elle est enseignée.

À mon avis (et pas seulement au mien, je ne suis évidemment pas le premier à parler de cela), un grand problème dans l'enseignement des mathématiques est que la façon dont on écrit formellement les mathématiques n'est pas la façon dont les mathématiciens les pensent. Quand on écrit des mathématiques, que ce soit dans un article scientifique ou dans la plupart des ouvrages d'enseignement niveau universitaire, on donne d'abord des définitions, puis on en déduit des lemmes et des théorèmes à l'aide de démonstrations. Si l'on est didactique, on inclut quelques exemples.

Ce n'est cependant pas comme cela que raisonnent les mathématiciens, et pas non plus comme cela qu'ils discutent entre eux dans les contextes informels. On fait alors la part belle à l'intuition : un mathématicien (ou apparenté) va souvent d'abord donner les grandes idées (même si certaines sont fausses stricto sensu) sans rentrer dans les détails de la preuve. Il n'est pas rare d'entendre des phrases comme « celui là s'aplatit » ou « tu t'en sors avec un argument diagonal », qu'évidemment on n'écrira pas dans un article ou un manuel.

Qui plus est, le discours mathématique formel fonctionne à l'envers de la conception. On présente les mathématiques comme découlant de définitions fixées à l'avance, or, justement, d'une certaine façon ces définitions ont été choisies de façon à permettre de modéliser un concept intuitif ou de montrer certaines choses. Il n'est d'ailleurs pas anodin qu'historiquement plusieurs définitions aient été proposées pour certains concepts, que certaines aient mené à des paradoxes, ou que plusieurs définitions soient possibles pour le même concept (par exemple, celui d'intégrale).

Lorsque j'enseignais en DEUG, j'ai eu affaire à des étudiants à qui on avait expliqué ce qu'était une matrice et comment on multipliait celles-ci, mais à qui on n'avait pas montré que ce concept était naturel pour représenter les transformations géométriques et leur composition. Évidemment, privé de motivation, l'introduction d'un concept mathématique paraît comme une complication gratuite et abstraite... Ceci est d'ailleurs vrai à tout les niveaux : j'ai ainsi entendu dernièrement un collègue de l'INRIA au dessus de tout soupçon déplorer que tant d'articles et de conférenciers scientifiques ne prennent pas la peine d'expliquer en quoi le problème auxquels ils s'intéressent est important.

Revenons à l'enseignement des mathématiques dans le secondaire. Selon moi, celui-ci a deux retombées utiles. La première est la facilité de calcul symbolique. Certes, comme le rappelle l'auteur, il est rare que des gens aient à développer des polynômes dans le cadre de leur travail (cela m'arrive, mais je n'ai pas un métier courant), et il peut donc paraître abusif d'exiger leur connaissance par des personnels de santé ; il est il me semble cependant courant pour ces personnels de devoir réfléchir à des dosages, conversions d'unités, etc., qui nécessitent une certaine aisance en calcul.

La seconde est celle d'abstraction et de raisonnement déductif. Un raisonnement mathématique part d'hypothèses qui décrivent partiellement la réalité, et parvient à une conclusion qui doit être vraie si les hypothèses le sont et que toutes les étapes de raisonnement ont été bien menées. Notamment, un raisonnement doit pouvoir s'appliquer à tous les objets, toutes les situations qui vérifient les mêmes hypothèses ; si la conclusion est fausse dans certains de ces cas, c'est que le raisonnement est bancal. Cela paraît une évidence, mais combien de « raisonnements » entendons-nous autour de nous qui ne respectent pas cette règle de base ! Quant à l'abstraction, il s'agit de voir les similarités entre deux situations qui présentent certes des différences superficielles, mais, pour certains aspects du moins, obéissent aux mêmes lois. Par exemple, le son, l'électromagnétisme et la propagation de la chaleur sont des phénomènes apparemment très différents, mais on peut (dans une certaine mesure) les décrire avec le même type d'équations et les étudier avec les mêmes outils mathématiques. Ainsi, les mathématiques incitent à « lever le nez du guidon » et à se concentrer sur le cœur du problème et non sur des différences sans importance.

Que seraient les apports d'un enseignement d'informatique (je parle ici bien d'informatique, et non de bureautique ou usage d'Internet) ? Le bénéfice pratique : une certaine familiarité avec la programmation permet une plus grande efficacité dans les utilisations pratiques de l'informatique (par exemple, elle permet d'automatiser certaines tâches pénibles ou de comprendre certaines réactions du système informatique).

Le bénéfice plus théorique ? À mon avis, le plus important est de comprendre la différence qu'il y a entre définir un objet (voire le décrire informellement) et le calculer effectivement. Je suis parfois effaré du « yakafokon » du grand public, voire des universitaires, à propos de l'informatique, certains semblant visiblement croire que la difficulté est d'avoir une vague idée de concept et que la mise en œuvre informatique n'est qu'un problème technique dont la résolution s'ensuivra ; la « pensée magique » semble d'ailleurs assez répandue !

Bien entendu, les bénéfices « théoriques » exigent un peu de recul sur la pratique. Leur évaluation, au sens de « contrôle des connaissances », est difficile. De nombreux étudiants préfèrent en effet des contrôles basés sur des questions de cours et des exercices d'application du cours (aux résultats prévisibles si l'on a bien « bachoté ») à des questions de réflexion ou de commentaire. Les enseignants peuvent également les apprécier pour leur facilité de correction, et, là aussi, la prévisibilité des résultats (il est en fait assez courant qu'une moyenne-cible soit imposée). Je ne me sens toutefois pas le courage et les compétences pour réformer la notation...

PS Mon collègue Pierre Colmez a écrit une tribune sur le même thème dans le magazine en ligne Atlantico.